Le funzioni goniometriche sono delle funzioni periodiche, cioè restituiscono valori uguali per angoli che differiscono tra loro di uno o più periodi.
Il seno e il coseno hanno un periodo di 2pi, cioé due angoli che differiscono di 2pi hanno lo stesso seno e coseno. Ad esempio 3/2 pi ha stesso seno e coseno di 7/2 pi, 11/2 pi e così via dicendo. Dal momento che 2pi equivale a 360°, possiamo anche dire che sen(14°)=sen(14°+360°)=sen(374°)=sen(734°)=ecc.. e lo stesso vale per il coseno.
La tangente e la cotangente hanno invece un periodo uguale a pi. Avendo quindi un periodo di 180°, possiamo ad esempio dire che tg(30°)=tg(210°)=tg(390°)=ecc. Possiamo vedere la cosa in maniera chiara nei grafici delle funzioni.
Grafico delle funzioni goniometriche
Grafico del seno
Con questo grafico si comprende bene la natura periodica del seno, come tutte le funzioni goniometriche. Si può notare come punti distanti tra loro di 2pi abbiano lo stesso seno. Il seno è una funzione dispari cioè sen(-a)=-sen(a). Il grafico di un seno viene chiamato sinusoide.
Grafico del coseno
Anche nel coseno è palese la periodicità con modulo 2pi. E' inoltre riscontrabile che il coseno è una funzione pari cioè cos(-a)=cos(a).
Grafico della tangente
La tangente è una funzione ascendente fratta. Il fatto che sia ascendente è palese: in ogni punto la funzione tende a salire (Rigorosamente si deve dire che la retta tangente in ogni punto di questa funzione ha coefficiente angolare positivo, o ancor più rigorosamente che la derivata prima della tangente in ogni punto è positiva). Le rette verticali che passano a -3/2pi, a -pi/2, a pi/2 e a 3/2pi sono gli asintodi della funzione. La tangente quando si avvicina a quei valori tende a inf o a -inf.
E' chiaro che essendo tg(x) = sen(x)/cos(x), la tangente non esiste quando cos(x)=0 e quindi nei punti in cui passano gli asintodi (le linee rosse, x = pi/2 + k pi). La tangente dunque non tocca mai gli asintodi se non all'infinito. La tangente è una funzione dispari.
Grafico della cotangente
La cotangente è una funzione discendente fratta. Anche la cotangente è una funzione dispari. Essendo ctg(x)=cos(x)/sen(x), la cotangente non esiste quando il seno è nullo, quindi non tocca mai gli asintodi in x = k pi.
Segni e comportamenti delle funzioni goniometriche
Funzione
Quadrante I
Quadrante II
Quadrante III
Quadrante IV
Seno
Positivo crescente
Positivo decrescente
Negativo decrescente
Negativo crescente
Coseno
Positivo decrescente
Negativo decrescente
Negativo crescente
Positivo crescente
Tangente
Positivo crescente
Negativo crescente
Positivo crescente
Negativo crescente
Cotangente
Positivo decrescente
Negativo decrescente
Positivo decrescente
Negativo decrescente
Funzione
Dominio
Codominio
Seno
]-inf,inf[
[-1,1]
Coseno
]-inf,inf[
[-1,1]
Tangente
x!=(1+2k)pi/2
]-inf,inf[
Cotangente
x!=k pi
]-inf,inf[
Questa tabella indica il campo d'esistenza delle funzioni: sen(x) e cos(x) hanno significato sempre mentre invece per tg(x) e ctg(x), x deve essere diverso da alcuni valori che farebbero perdere significato alla funzione:
per tg x, x deve essere diverso da (1+2k)pi/2 ossia deve avere un coseno diverso da zero; analogamente per ctg x, x deve essere diverso da quei valori che farebbero annullare il seno che sono k pi. Per quanto riduarda il codominio, il seno e il coseno variano tra -1 e 1 come tra l'altro i grafici fanno notare; per la tangente e la cotangente invece il codominio è infinito cioé la tangente o la cotangente di un angolo possono assumere qualsiasi valore.
Angoli notevoli
In genere il seno di un angolo è un numero irrazionale non esprimibile mediante un espressione finita tant'è che si ricorre all'approssimazione; per alcuni angoli tuttavia le funzioni goniometriche restituiscono risultati esprimibili mediante un'espressione più o meno semplice. Ecco qui un elenco di angoli notevoli.
Angolo
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
0°
0
0
1
0
Non def.
90°
pi/2
1
0
Non def.
0
180°
pi
0
-1
0
Non def.
270°
3/2pi
-1
0
Non def.
0
360°
2pi
0
1
0
Non def.
30°
pi/6
1/2
sqr(3)/2
1/sqr(3)
sqr(3)
45°
pi/4
1/sqr(2)
1/sqr(2)
sqr(2)
sqr(2)
60°
pi/3
sqr(3)/2
1/2
sqr(3)
1/sqr(3)
Angoli associati
Se conosciamo il seno di un angolo A, possiamo calcolarci il valore del seno del complementare di A, del supplementare di A e di altri angoli che hanno qualche peculiarità con A. In questa tabella c'è una rapida trattazione di questi angoli.
B
Sen(B)=
Cos(B)=
Tg(B)=
Ctg(B)=
B=90°-A
Cos(A)
Sen(A)
Ctg(A)
Tg(A)
B=90°+A
Cos(A)
-Sen(A)
-Ctg(A)
-Tg(A)
B=180°-A
Sen(A)
-Cos(A)
-Tg(A)
-Ctg(A)
B=180°-A
-Sen(A)
-Cos(A)
Tg(A)
Ctg(A)
B=360°-A
-Sen(A)
Cos(A)
-Tg(A)
-Ctg(A)
B=360°+A
Sen(A)
Cos(A)
Tg(A)
Ctg(A)
Riduzione al primo quadrante e al primo ottante
Alla luce della tabella sopra esposta, possiamo calcolarci il seno di un angolo in maniera un pò più semplice, ecco un esempio:
sen(284°)=-sen(360°-284°)=-sen(76°) ma sulla tavola dei logaritmi ci sono i valori dei seni che vanno da 0° a 45°. Ecco che siamo costretti ad operare un altro passaggio:
-sen(76°)=-cos(90°-76°)=-cos(24°) con questo sistema in pratica si può calcolare il valore di una funzione goniometrica di un angolo qualsiasi, conoscendo i valori solo per gli angoli del primo ottante (da 0° a 45°).
Altri esempi:
tg(135°)=tg(180°-45°)=-tg(45°)=-1
cos(210°)=-cos(180°+30°)=-cos(30°)=-sqr(3)/2
ctg(300°)=-ctg(360°-60°)=-ctg(60°)=-tg(90°-30°)=-tg(30°)=-sqr(3)
E' importante quindi notare che tutti i valori finali sono delle espressioni basate su angoli appartenenti al primo ottante.
