Espressione di tutte le funzioni goniometriche di un dato angolo orientato mediante una sola di esse

	Funzione da esprimere
	sen	cos x	tg x	ctg x
sen x	sen x	ąsqr(1-sen²x)	(sen x)/ąsqr(1-sen²x)	ą(sqr(1-sen²x))/sen x
cos x	ąsqr(1-cos²x)	cos x	ą(sqr(1-cos²x))/cos x	(cos x)/ąsqr(1-cos²x)
tg x	(tg x)/ąsqr(1+tg²x)	1/ąsqr(1+tg²x)	tg x	1/tg x
ctg x	1/ąsqr(1+ctg²x)	(ctg x)/ąsqr(1+ctg²x)	1/ctg x	ctg x

Commentiamo questa tabella.
Con questa tabella si può calcolare il valore di una funzione goniometrica di un angolo ^A a partire dal valore di un'altra funzione goniometrica; ad es.:
io so che sen x=0.6 e mi voglio calcolare coseno, tangente e cotangente dello stesso angolo. Alla tabella vedo che per esprimere il coseno mediante il seno si deve applicare l'espressione cos x = ąsqr(1-sen²x) e sostituendo sen x con 0.6 che è il valore che conosciamo otteniamo cos x = ąsqr(1-0.6²) = ąsqr(1-0.36) = ąsqr(0.64) = ą0.8
L'impossibilità di determinare il segno deriva dal fatto che non si conosce il quadrante a cui appartiene l'angolo. Infatti due angoli hanno seno 0.6 e questi possono avere coseno +0.8 e -0.8. Si procede analogamente per il calcolo della tangente: tg x = (sen x)/ąsqr(1-sen²x) = 0.6/ąsqr(1-0.6²) = 0.6/ąsqr(0.64) = ą0.75
Per la verità già conoscevamo cos x e dunque avremmo potuto fare tg x = sen x/cos x.
Spero sia chiaro ora il significato della tabella ma ora vediamo di dimostrarne le varie espressioni.

Dimostrazione

Per la relazione fondamentale della trigonometria si ha che:
sen²x+cos²x=1 ==> sen²x=1-cos²x ==> sen x=ąsqr(1-cos²x)
E per analogia:
sen²x+cos²x=1 ==> cos²x=1-sen²x ==> cos x=ąsqr(1-sen²x)
Di qui sono chiare le espressioni di tg x e ctg x a partire da sen x e cos x. Prendiamo ad esempio tg x espresso mediante sen x:
tg x = (sen x)/(cos x) = (sen x)/ąsqr(1-sen²x)

Passando alle espressioni di sen x e cos x a partire da tg x e ctg x.
sen²x = sen²x ==> (sen²x)/(sen²x+cos²x)=sen²x
Fin qui è chiaro? sen²x+cos²x è uguale a 1 per la relazione fondamentale della trigonometria. Ora divido numeratore e denominatore per cos²x e ottengo
(tg²x)/(1+tg²x) = sen²x ==> (tg x)/ąsqr(1+tg²x) = sen x
E allo stesso modo:
cos²x = cos²x ==> (cos²x)/(sen²x+cos²x)=cos²x ==> 1/(1+tg²x) = cos²x ==> 1/ąsqr(1+tg²x) = cos x
per la cotangente la dimostrazione è molto simile: basta dividere nel passaggio intermedio per sen²x invece che per cos²x.

Formule di sottrazione

cos(x-y) = (cos x)(cos y)+(sen x)(sen y)	sen(x-y) = (sen x)(cos y)-(cos x)(sen y)
tg(x-y) = (tg x-tg y)/(1+(tg x)(tg y))	ctg(x-y) = ((tg x)(tg y)+1)/(ctg y-tg x)

DIMOSTRAZIONE

Sia a l'angolo ^XOA e b l'angolo ^XOB; noi ci vogliamo calcolare seno e coseno dell'angolo (b-a) conoscendo il seno e il coseno di entrambi gli angoli. Chiamiamo c proprio la misura dell'angolo b-a e disegnamo l'angolo ^XOC che sia di misura c.
Dal momento che gli angoli ^AOB e ^XOC sono uguali e dal momento che archi uguali sono sottesi da corde uguali, le corde AB e XC (le linee rosse) sono di egual lunghezza.
AB=CX ==> e per il teorema di Pitagora: sqr((B_x-A_x)²+(B_y-A_y)²) = sqr((X_x-C_x)²+(X_y-C_y)²) ==> sostituendo ed elevando tutto al quadrato: (cos b - cos a)²+(sen b - sen a)² = (1 - cos c)²+(0 - sen c)² ==> cos²b+cos²a-2(cos b)(cos a)+sen²b+sen²a-2(sen a)(sen b)=1+cos²c-2cos c+sen²c ==>
essendo sen²a+cos²a=1 e sen²b+cos²b=1 e sen²c+cos²c=1 sostituiamo:
2-2(sen a)(sen b)-2(cos a)(cos b) = 2-2cos c ==> sottraiamo 2 ad ambo i membri e dividiamo il tutto per -2 e abbiamo:
cos(b-a) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b) C.V.D.

Per calcolare sen c si adotta questo procedimento: noi sappiamo che
sen c = cos (c-pi/2) = cos((b-a)-pi/2) = cos((b-pi/2)-a) =
applicando la formula di sottrazione del coseno...
sen c = cos(b-pi/2)*cos a + sen(b-pi/2)*sen a = (sen b)(cos a) - (cos b)(sen a)

Ecco il procedimento per calcolare tg (b-a)
tg c = (sen c)/(cos c) = ((sen b)(cos a) - (cos b)(sen a)) / ((cos b)(cos a) - (sen b)(sen a))
dividiamo ora numeratore e denominatore per (cos b)(cos a)...
tg c = ((tg b)-(tg a)) / (1 - (tg b)(tg a))

Infine ecco il procedimento per calcolare ctg (b-a)
ctg c = (cos c)/(sen c) = ((cos b)(cos a) + (sen b)(sen a)) / ((sen b)(cos a) - (cos b)(sen a))
dividiamo ora numeratore e denominatore per (sen b)(sen a)...
ctg c = ((ctg b)(ctg a) + 1) / ((ctg a)(ctg b))

Formule di addizione

cos(x+y) = (cos x)(cos y)-(sen x)(sen y)	sen(x+y) = (sen x)(cos y)+(cos x)(sen y)
tg(x+y) = (tg x+tg y)/(1-(tg x)(tg y))	ctg(x+y) = ((ctg x)(ctg y)-1)/(ctg y+ctg x)

DIMOSTRAZIONE

Le dimostrazioni sono banali in quanto basta utilizzare le formule di sottrazione con una lieve modifica:
cos(x+y) = cos(x-(-y)) = (cos x)(cos(-y)) + (sen x)(sen(-y)) = (cos x)(cos y) - (sen x)(sen y)

sen(x+y) = sen(x-(-y)) = (sen x)(cos(-y)) + (cos x)(sen(-y)) = (sen x)(cos y) + (cos x)(sen y)

tg(x+y) = tg(x-(-y)) = (tg x - tg(-y)) / (1 + (tg x)(tg(-y))) = (tg x+tg y)/(1-(tg x)(tg y))

ctg(x+y) = ctg(x-(-y)) = ((ctg x)(ctg(-y)) + 1) / (ctg(-y) - ctg x) = (-(ctg x)(ctg y)+1)/(-ctg y-ctg x) = ((ctg x)(ctg y)-1)/(ctg y+ctg x)

Formule di duplicazione

sen(2x) = 2(sen x)(cos x)
cos(2x) = cos²x-sen²x oppure 1-2sen²x oppure 2cos²x-1
tg(2x) = (2tg x)/(1 - tg²x)
ctg(2x) = (ctg²x - 1)/(2ctg x)

Anche in questo caso la dimostrazione è banale: basta utilizzare le formule di duplicazione:
cos(2x) = cos(x+x) = (cos x)(cos x) - (sen x)(sen x) = cos²x-sen²x

sen(2x) = sen(x+x) = (sen x)(cos x) + (sen x)(cos x) = 2(sen x)(cos x)

tg(2x) = tg(x+x) = (tg x + tg x)/(1-(tg x)(tg x)) = (2tg x)/(1-tg²x)

ctg(2x) = ctg(x+x) = ((ctg x)(ctg x)-1)/(ctg x + ctg x) = (ctg²x - 1)/(2ctg x)

Formule di bisezione

cos(x/2) = ąsqr((1+cos x)/2)
sen(x/2) = ąsqr((1-cos x)/2)
tg(x/2) = ąsqr((1-cos x)/(1+cos x))
ctg(x/2) = ąsqr((1+cos x)/(1-cos x))

Queste formule si ricavano facilmente a partire dalle formule di duplicazione:
cos x = cos x ==> cos(2*x/2) = cos x ==> 2cos²(x/2)-1 = cos x ==> cos²(x/2) = (1+cos x)/2 ==> cos(x/2) = ąsqr((1+cos x)/2)

sen(x/2) = ąsqr(1-cos²(x/2)) = ąsqr(1-((1+cos x)/2)) = ąsqr((1-cos x)/2)

tg(x/2) = sen(x/2)/cos(x/2) = ąsqr((1-cos x)/2)/sqr((1+cos x)/2) = sqr((1-cos x)/(1+cos x))

ctg(x/2) = 1/tg(x/2) = sqr((1+cos x)/(1-cos x))

Formule di prostaferesi

sen x+sen y = 2sen((x+y)/2)cos((x-y)/2)
sen x-cos y = 2sen((x-y)/2)cos((x+y)/2)
cos x+cos y = 2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)
cos x-cos y = -2sen((x+y)/2)sen((x-y)/2)

Le formule di prostaferesi permettono di fattorizzare una somma di due seni o coseni. La dimostrazione è la seguente:
Sia p+q=x e p-q=y       segue che p=(x+y)/2 e q=(x-y)/2
sen x=(sen p)(cos q)+(sen q)(cos p)       sen y=(sen p)(cos q)-(sen q)(cos p)
cos x=(cos p)(cos q)-(sen p)(sen q)       cos y=(cos p)(cos q)+(sen p)(sen q)

sen x+sen y = 2(sen p)(cos q) = 2sen((x+y)/2)cos((x-y)/2)

sen x-sen y = 2(sen q)(cos p) = 2sen((x-y)/2)cos((x+y)/2)

cos x+cos y = 2(cos p)(cos q) = 2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)

cos x-cos y = -2(sen p)(sen q) = -2sen((x+y)/2)sen((x-y)/2)

Formule di Werner

(sen x)(sen y) = 1/2(cos(x-y)-cos(x+y))
(cos x)(cos y) = 1/2(cos(x+y)+cos(x-y))
(sen x)(cos y) = 1/2(sen(x+y)+sen(x-y))

Le formule di Werner svolgono praticamente l'opposto delle formule di prostaferesi
Anche in questo caso la dimostrazione di ognuna delle 3 formule è intuitiva...
Dalla formula di prostaferesi si ha che:

cos(x+y)-cos(x-y) = -2(sen x)(sen y) ==> (sen x)(sen y) = -1/2(cos(x+y)-cos(x-y)) = 1/2(cos(x-y)-cos(x+y))

cos(x+y)+cos(x-y) = 2(cos x)(cos y) ==> (cos x)(cos y) = 1/2(cos(x+y)+cos(x-y))

sen(x+y)+sen(x-y) = 2(sen x)(cos y) ==> (sen x)(cos y) = 1/2(sen(x+y)+sen(x-y))

Formule parametriche in tg(x/2)

sen x = 2tg(x/2)/(1+tg²(x/2))
cos x = (1-tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))
tg x = 2tg(x/2)/(1-tg²(x/2))
ctg x = (1-tg²(x/2))/2tg(x/2)

La dimostrazione per sen x è la seguente:
sen x = sen(2*x/2) = 2sen(x/2)cos(x/2)/1 = 2sen(x/2)cos(x/2)/(sen²(x/2)+cos²(x/2))
ora dividiamo tutto per cos²(x/2) e otteniamo
sen x = 2tg(x/2)/(1+tg²(x/2))

Identica dimostrazione per cos x
cos x = cos(2*x/2) = (cos²(x/2)-sen²(x/2))/1 = (cos²(x/2)-sen²(x/2))/(sen²(x/2)+cos²(x/2))
ora dividiamo tutto per cos²(x/2) e otteniamo
cos x = (1-tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))

Per tg x si ha...
tg x = sen x / cos x = 2tg(x/2)/(1-tg²(x/2))

...e per ctg x vediamo...
ctg x = 1 / tg x = (1-tg²(x/2))/2tg(x/2)

N.B. Quando si utilizzano queste formule si deve cosidirerare l'esistena di tg(x/2) quindi si deve imporre: cos(x/2)!=0 ==> (x/2)!=(k+1/2)pi ==> x != (2k+1)pi

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