Si definisce identità goniometrica ogni eguaglianza tra espressioni, che contengono fuzioni goniometriche di uno o più angoli, che è verificata qualunque siano i valori che si attribuiscono alle misure degli angoli contenuti (esclusi quei valori per i quali almeno una delle due espressioni perde significato)
Ad esempio un'identità potrebbe essere la seguente: (sen 2x)(tg x) = 2sen2x
La dimostrazione è anche abbastanza banale: (sen 2x)(tg x) = 2(sen x)(cos x)(sen x/cos x) = 2sen2x
Molte volte però si chiede di verificare identità di una complessità maggiore come la seguente: sen(2x)/(1+cos(2x)) = tg x (sen a-sen b)/(cos x+cos y) = tg((x-y)/2)
Ed ecco le dimostrazioni: sen(2x)/(1+cos(2x)) = 2(sen x)(cos x)/(2-2sen2x) = (sen x)(cos x)/(1-sen2x) = (sen x)(cos x)/(cos2x) = sen x/cos x = tg x
Un'equazione lineare si dice semplice quando è un'equazione del tipo
sen x=a oppure cos x=b , tg x=c , ctg x=d
la risoluzione di un'equazione lineare semplice consiste nel trovare gli angoli che sostituiti nell'equazione la verificano. Ad es.:
senx=0.5 per risolvere tale equazione devo trovare tutti gli angoli che hanno seno 0.5 . Questi angoli sono ^AOB e ^AOC. Le misure di questi due angoli sono rispettivamente pi/6 e 5pi/6 (30° e 150°). Le soluzioni dell'equazione sono dunque: x = pi/6 + 2k pi x = 5pi/6 + 2k pi Il 2k pi sta ad indicare il periodo del seno. Infatti ogni 2pi il seno ritorna sugli stessi valori.
Se fosse stato tg x=sqr(3) allora avremmo avuto una soluzione: x = pi/3 + k pi poiché il periodo della tangente è pi e non 2pi.
Equazioni goniometriche
Questo tipo di equazione pone una relazione tra due angoli o funzioni. Ad es.: sen(3x+pi) = cos(4x-pi/2)
La risoluzione di questa equazione prevede l'utilizzo di questa tabella riassuntiva.
Equazione
Relazione tra le due funzioni f e g
sen f(x) = sen g(x)
f(x) = g(x)+2k pi f(x)+g(x) = (2k+1)pi
sen f(x) = -sen g(x)
f(x)+g(x) = 2k pi f(x) = g(x)+(2k+1)pi
cos f(x) = cos g(x)
f(x) = g(x)+2k pi f(x)+g(x) = 2k pi
cos f(x) = cos g(x)
f(x)+g(x) = (2k+1)pi f(x)-g(x) = (2k+1)pi
sen f(x) = cos g(x)
f(x)+g(x) = (2k+1/2)pi f(x)-g(x) = (2k+1/2)pi
tg f(x) = tg g(x)
f(x) = g(x)+k pi
tg f(x) = ctg g(x)
f(x)+g(x) = (k+1/2)pi
Dunque tornando alla nostra equazione sen(3x+pi) = cos(4x-pi/2), vediamo che le soluzioni sono: (3x+pi)+(4x-pi/2) = (2k+1/2)pi
(3x+pi)-(4x-pi/2) = (2k+1/2)pi
risolvendo la prima si ha: 7x+pi/2 = pi/2+2k pi ==> 7x = 2k pi ==> x = 2k pi/7
e l'altra soluzione: -x+3pi/2 = pi/2+2k pi ==> -x = -pi+2k pi ==> x = pi+2k pi ==> x = (2k+1)pi
Probabilmente avrai notato che quando ho cambiato entrambi i termini di segno, non ho cambiato di segno 2k pi e ciò perché k è un numero intero relativo (...,-3,-2,-1,0,1,2,3,ecc..) e quindi non cambierebbe assolutamente nulla nel cambiare di segno il periodo.
Equazioni lineari in sen x e cos x
Le equazioni lineari in sen x e cos x sono del tipo: a sen x + b cos x = c
Ci sono 3 metodi per risolvere un'equazione lineare in sen x e cos x:
prendiamo come equazione-test sen x + sqr(3)cos x = 1
Primo metodo con le formule parametriche
Utilizzando le formule parametriche si rende l'equazione così:
t=tg(x/2)
2t/(1+t2) + sqr(3)(1-t2)/(1+t2) = (1+t2)/(1+t2) eliminando il denominatore in quanto è uguale per tutti e tre gli addendi ed è sempre diverso da zero...
2t + sqr(3) - sqr(3)t2 = 1 + t2
(1+sqr(3))t2 - 2t + (1-sqr(3)) = 0 risolvendo l'equazione di secondo grado si ottiene
t = 1 e t = -2+sqr(3)
tg(x/2) = 1 ==> x/2 = pi/4+k pi ==> x = pi/2+2k pi
tg(x/2) = -2+sqr(3) ==> x/2 = -pi/12+k pi ==> x = -pi/6+2k pi
N.B. Con le formule parametriche si perde la potenziale soluzione x=(2k+1)pi per il motivo spiegato nella lezione precedente. Infatti se alla fine della risoluzione si accede ad una equazione di primo grado e non di secondo, la seconda soluzione è rappresentata proprio da (2k+1)pi. Comunque per andare sul sicuro è buona norma (o almeno lo consiglio io!) sostituire ad x il valore (2k+1)pi e vedere se si verifica l'equazione. In questo caso comunque avremmo -sqr(3)=1 in caso di sostituzione quindi siamo certi di non aver perso alcuna soluzione.
Secondo metodo con la circonferenza associata
Sia Y=sen x e X=cos x l'equazione diventa così: Y + sqr(3)X = 1 si mette a sistema questa equazione con
X2+Y2 = 1 quest'ultima non è altro che la'equazione della circonferenza goniometrica. Mettere a sistema significa trovare l'intersezione tra questa circonferenza e la retta Y + sqr(3)X = 1. Si risolve quindi il sistema...
Y = 1-sqr(3)X ==> sostituendo nell'equazione della circonferenza goniometrica ==>
X2+(1-sqr(3)X)2 = 1 ==> X2+1+3X2-2sqr(3)X = 1 ==> 4X2-2sqr(3)X=0 ci sono due soluzioni per X:
X = 0 ==> Y = 1-sqr(3)*0 = 1
X = sqr(3)/2 ==> Y = 1-sqr(3)*sqr(3)/2 = -0.5
I due punti d'intersezione tra la circonferenza goniometrica e la retta sono: B=(0,1) e C=(sqr(3)/2,-0.5). I due angoli che verificano l'equazione sono dunque pi/2 (che infatti ha per seno 1 e per coseno 0) e -pi/6 (che ha per seno -1/2 e per coseno sqr(3)).
le due soluzioni sono dunque:
x = pi/2+2k pi
x = -pi/6+2k pi Gli stessi risultati del primo metodo.
Terzo metodo
Questo è un metodo un pò meno rigoroso e che, soprattutto, solo raramente può essere applicabile. La sua relativa semplicità però ci induce a trattarlo.
sen x + sqr(3)cos x = 1
divido tutto per 2 1/2*sen x + sqr(3)/2*cos x = 1/2
1/2 non è altro che il coseno di pi/3 e sqr(3)/2 è il seno di pi/3, dunque: cos(pi/3)sen x + sen(pi/3)cos x = 1/2
ma il primo termine dell'uguaglianza non è altro che... sen(pi/3 + x) = 1/2
Due angoli hanno per seno 1/2: pi/6 e 5pi/6 pi/3 + x = pi/6+2k pi ==> x = -pi/6 +2k pi pi/3 + x = 5pi/6+2k pi ==> x = pi/2 +2k pi N.B. Quando invece (sen x) e (cos x) hanno lo stesso coefficiente (occhio al segno!) è possibile dividere tutto affinché entrambi abbiano per coefficiente 1/sqr(2). Ad es.:
14sen x + 14cos x = 6
divido tutto per 14*sqr(2)
(sen x)/sqr(2) + (cos x)/sqr(2) = 6/(14sqr(2))
(sen x)(cos pi/4) + (cos x)(sen pi/4) = 3/(7sqr(2))
sen(x+pi/4) = 3/(7sqr(2)) ecc....
Equazioni omogenee in sen x e cos x
Le equazioni omogenee presentano tutti gli addendi di uno stesso grado:
sen2x + 4(sen x)(cos x) + 3cos2x = 0
per risolvere questo tipo di equazioni di n° grado basta dividere tutto per cosnx
tg2x + 4tg x + 3 = 0
le soluzioni di questa equaziono sono: tg x = -1 ==> x = -pi/4 + k pi tg x = -3 ==> x = -pi/3 + k pi Attenzione !!! Prima di dividere tutto per cosnx bisogna fattorizzare cos x ovunque sia possibile farlo. Mi spiego meglio: se abbiamo
2(sen x)(cos x) + 5cos2x = 0
in questo caso è possibile fattorizzare cos x e quindi l'equazione diventa:
(cos x)(2sen x + 5cos x) = 0
così per trovare le soluzioni eguagliamo a zero il primo e il secondo fattore.
Le equazioni omogenee in sen x e cos x possono tranquillamente essere risolte se sono anche di grado superiore al secondo:
sen4x - 4(sen2x)(cos2x) + 3cos4x = 0
Dopo aver constatato l'impossibilità di fattorizzare cos x si divide tutto per cos4x
tg4x - 4tg2x + 3 = 0
(tg2x-3)(tg2x-1) = 0
Ci sono 4 soluzioni :
tg x = sqr(3) ==> x = pi/3 +k pi
tg x = -sqr(3) ==> x = -pi/3 +k pi
tg x = 1 ==> x = pi/2 +k pi
tg x = -1 ==> x = -pi/2 +k pi
Risolviamo ora un'equazione di 8° grado:
(sen6x)(cos2x) - 4(sen4x)(cos4x) + 3(sen2x)(cos6x) = 0
Sembra difficile...ma non lo è! Prima di tutto dobbiamo fattorizzare cos2x
(cos2x)*((sen6x) - 4(sen4x)(cos2x) + 3(sen2x)(cos4x)) = 0
ora dividiamo il secondo trinomio per cos4x
(cos2x)*(tg6x - 4tg4x + 3tg2x) = 0
scomponiamo con Ruffini il trinomio e alla fine otteniamo (cos2x)*(tg2x)(tg2x - 1)(tg2x - 3) = 0
le soluzioni sono moltiplici:
cos x = 0 ==> x = (k+1/2)pi
tg x = 0 ==> x = k pi
tg x = +1 ==> x = pi/4 +k pi
tg x = -1 ==> x = -pi/4 +k pi
tg x = sqr(3) ==> x = pi/3 +k pi
tg x = -sqr(3) ==> x = -pi/3 +k pi
Sistema per rendere omogenee le equazioni e le disequazioni goniometriche
Purtroppo non capita molto spesso di avere a che fare con disequazioni omogenee in sen x e cos x. Ad esempio.:
6sen2x + 3cos2x - 5 = 0
Questa chiaramente non è un'equazione omogenea tuttavia c'è un sistema per farla diventare tale: in questo caso basta moltiplicare il termine noto -5 per sen2x+cos2x, quantità che per la prima relazione fondamentale della trigonometria è uguale a 1, ed ecco il risultato: 6sen2x + 3cos2x - 5sen2x - 5cos2x = 0 ==> sen2x - 3cos2x = 0
questo sistema è applicabile anche ad equazioni di grado più alto: noi possiamo moltiplicare tutto quello che ci pare per sen2x+cos2x senza problemi. Dunque facendo un altro esempio: 7sen4x + 5cos4x - 3 = 0
in questo caso devo portare tutto al 4° grado quindi devo moltiplicare il termine noto per (sen2x+cos2x)2 7sen4x + 5cos4x - 3sen4x - 3cos4x - 6(sen2x)(cos2x) = 0 ==>
==> 4sen4x - 6(sen2x)(cos2x) + 2cos4x = 0
Facile vero? Questo sistema vi potrebbe tornare utile molto spesso.
N.B. Questo sistema può essere tranquillamente utilizzato anche nelle disequazioni goniometriche.
