1. Metodo della circonferenza goniometrica
   Si disegna la circonferenza goniometrica e si intercettano su di essa gli angoli per i quali la disequazione è nulla;
   basterà poi segnare, a partire da quegli angoli, l'arco per il quale è verificata la disequazione, cioè sinx è maggiore di 1/2
   
   
2. La disequazione goniometrica è trattata come una normale disequazione
   (metodo ottimo nel caso di disequazioni goniometriche fratte)
   

Disequazioni goniometriche omogenee in sen x e cos x

1. Il grado di omogeneità sia pari
   
   sqr(3)sin²x - 2sinxcosx - sqr(3)cos² < 0
   
   Si divide la dsequazione per cosⁿx che, essendo n pari, è un numero positivo,
   sqr(3)tg²x - 2tgx - sqr(3) < 0
   
   tgx = sqr(3)
   tgx = -1/sqr(3)
   
          SOLUZIONI:
   

   -30° + k180° < x < 60° + k180°

   
   
   

   N.B.

   Se una disequazione in tg x tra le soluzioni comprende 90° e 270°, a causa del campo di esistenza della tangente, tali valori vanno esclusi; in una disequazione goniometrica omogenea intera in sinx e cosx, invece, la disequazione in tg x è uno stadio intermedio della disequazione: pertanto se 90° e 270° sono compresi tra le soluzioni non vanno esclusi se, sostituiti alla disequazione, la verificano.

   
   
   
2. Il grado di omogeneità è dispari
   
   sinx + cosx > 0
   
   Si divide per cosⁿx, con n grado di omogeneità dispari:
   cosⁿx è positivo se cosx è positivo;
   cosⁿx è negativo se cosx è negativo:
   pertanto, quando dividiamo la disequazione data per cosⁿx, dobbiamo tener conto della possibile negatività del denominatore, e per questo la disequazione data sfocia in due disequazioni in tgx:
   
   1. una dello stesso segno della disequazione data, a sistema con cosx > 0 ;
   2. l'altra di segno opposto rispetto alla disequazione data, a sistema con cosx < 0 .
      
   
   Il primo sistema sarà costituito dalle disequazioni:
   tgx + 1 > 0
   cosx > 0
   
          SOLUZIONI:
   

   -45° + 2k180° < x < 90° + 2k180°

   
   
   Il secondo sistema sarà costituito dalle disequazioni:
   tgx + 1 < 0
   cosx < 0
   
          SOLUZIONI:
   

   90° + 2k180° < x < 135° + 2k180°

   
   
   
   SOLUZIONI DEL SISTEMA:
   

   -45° + 2k180° < x < 135° + 2k180°

   
   
   

Disequazioni goniometriche lineari in sen x e cos x

1. Con uso delle formule parametriche
   
   sinx + cosx - 1 < 0
   
   Usando le formule parametriche:
   [2 tgx/2 + (1 - tg²x/2) - (1 + tg²x/2)] / (1 + tg²x/2) < 0
   Il binomio (1 + tg²x/2) può essere eliminato poiché positivo e diverso da zero, quindi
   [2 tgx/2 + (1 - tg²x/2) - (1 + tg²x/2)] / (1 + tg²x/2) < 0
   
   - tg²x/2 + tgx/2 < 0
   
          SOLUZIONI:
   

   2k180° < x < 90° + 2k180°

   
   
   
2. Con uso della circonferenza goniometrica associata e orientamento di una retta
   
   

   PREMESSA:"DISEQUAZIONI LINEARI A DUE INCOGNITE"

   Ogni retta divide il piano in 3 parti: insieme dei punti che sostituiti nell'equazione della retta la rendono positiva (a destra del verso stabilito sulla retta); insieme dei punti che sostituiti nell'equazione della retta la rendono negativa (a sinistra del verso stabilito sulla retta); tutti i punti della retta che sostituiti all'equazione la rendono nulla. esempio: Si consideri la retta 2x - y + 1 < 0 : La suddetta retta intersecherà l'asse y in +1, e l'asse x in -1. Disegnata la retta sul piano, si andranno a sostituire all'equazione le coordinate di un qualsiasi punto del piano non appartenente alla retta: se il punto renderà l'equazione positiva, dovremo fissare il verso della retta in modo tale che il suddetto punto si trovi alla sua destra; se il punto renderà l'equazione negativa, dovremo fissare il verso della retta in modo che il punto si trovi alla sua sinistra. In questo caso tutti i punti a sinistra della retta, rispetto al verso fissato, soddisfano la disequazione

   
   Utilizzando il metodo precedentemente descritto possiamo risolvere anche le disequazioni goniometriche lineari:
   
   
   esempio:
   
   Risolvere l'equazione sinx + cosx - 1 >0
   Sia sinx = Y
   cosx = X
   Di conseguenza la disequazione diventerà:
   X + Y - 1 > 0 che risolta con il suddetto metodo, e messa a sistema con la circonferenza goniometrica (X² + Y² = 1), ci fornirà l'intervallo desiderato.
   
          SOLUZIONI:
   

   2k180° < x < 90° + 2k180°

   
   
   
3. Metodo rapido
   
   In alcuni casi è possibile utilizzare degli espedienti per semplificare il calcolo.
   Nel nostro caso ad esempio dividendo l'equazione per sqr(2), otteniamo l'equazione:
   
   (sinx)/sqr(2) + (cosx)/sqr(2) > 1/sqr(2)
   Ma questa equazione è riconducibile, considerando quell' 1/sqr(2) come sin45° e cos45°, all'equazione:
   sin (x + 45°) > 1/sqr(2)
   
   Chiamando (x + 45°) = y :
   
          SOLUZIONI:
   

   45° + 2k180° < y < 135° + 2k180°

   
   
   E quindi risostituendo:
   
          SOLUZIONI:
   

   2k180° < x < 90° + 2k180°

   
   
   

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