Corso veloce di trigonometria - lezione 1
Lezione 6
Trigonometria e applicazioni geometriche della trigonometria

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1° Teorema sui triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo ad esso opposto, o per il coseno dell'angolo ad esso adiacente

DIM
Con centro in B si costruisca la circonferenza goniometrica di raggio BP; chiamata h la proiezione di P sul lato BC, allora:

^BHP è simile a ^BAC (hanno 3 angoli uguali), quindi

AC : HP = BA : BP
c : sin^ABC = a : 1    c = a sin^ABC

2° Teorema sui triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale alla misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo ad esso opposto, o per la cotangente dell'angolo ad esso adiacente.

AC : CB= HP : HB
c : b = sin^ABC : cos^ABC      b = c cos^ABC/sin^ABC

Teorema della corda

La lunghezza di una corda in una C(circonferenza) di raggio r è uguale al diametro della circonferenza per il seno dell'angolo alla circonferenza che insiste su uno dei due archi sottesi alla corda.

DIM
Per B o per A si conduca il diametro BL, si congiunga A con L; ^BAL è rettangolo in ^A, ^ALB è l'angolo alla circonferenza che insitse sull'arco minore AB, e quindi:

AB = BL sin^ALO = 2r sin^ALO

N.B.:Ogni angolo alla circonferenza è metà di un angolo al centro che insiste sullo stesso arco, quindi:
^AOB = 2^AMB     2^AMB + 2^ALB = ^360°
^AMB + ^ALB = 180°

Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo qualsiasi la misura dei lati è proporzionale al seno degli angoli opposti.

DIM
a = 2r sin^BAC (Teorema della corda)
b = 2r sin^CBA (Teorema della corda)
c = 2r sin^ACB (Teorema della corda)

a / 2r sin^BAC = b / 2r sin^CBA = c / 2r sin^ACB
a / sin^BAC = b / sin^CBA = c / sin^ACB

N.B.:In un triangolo qualsiasi il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo:
a / sin^BAC = 2r

Teorema delle proiezioni

In un triangolo qualsiasi la misura di un lato è uguale alla somma algebrica delle proiezioni degli altri due lati su di esso, quindi alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due lati per il coseno dell'angolo che ognuno di essi forma con il lato considerato.

DIM

BC = HB + HC
BC = c cos^ABC + b cos^ACB = a

b = c cos^BAC + a cos^ACB

c = b cos^BAC + a cos^ABC

N.B.:Il teorema è valido per tutti i triangoli, compresi quelli ottusangoli.

Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo qualsiasi la misura al quadrato di un suo lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuiti del doppio prodotto di essi per il coseno dell'angolo che questi ultimi due formano tra loro.

DIM

a = c cos^ABC + b cos^ACB (Per teorema delle proiezioni)

b = c cos^BAC + a cos^ACB (Per teorema delle proiezioni)

c = b cos^BAC + a cos^ABC (Per teorema delle proiezioni)

Moltiplicando prima, seconda e terza equazione rispettivamente per a, -b, -c, e successivamente sommando le tre equazioni, otteniamo che:

a² - b² - c² = -2bc cos^BAC

a² = b² + c² -2bc cos^BAC

N.B.:Il suddetto teorema non è altro che la generalizzazione del teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi.

Formule di Briggs

Funzione ^BAC/2 ^CBA/2 ^BCA/2
Seno sqr([(p - b)(p - c)]/bc) sqr([(p - a)(p - c)]/ac) sqr([(p - a)(p - b)]/ab)
Coseno sqr([p(p - a)]/bc) sqr([p(p - b)]/ac) sqr([p(p - c)]/ab)

DIM

Per il teorema del coseno:

a² = b² + c² - 2bc cos^BAC, quindi cos^BAC = (b² + c² - a²)/2bc

sin^BAC/2 = sqr((2bc - b² - c² + a²)/4bc) = sqr([a² - (b - c)²]/4bc) =
= sqr([(a + b - c)(a - b + c)]/4bc) = sqr([2 (p - c) 2 (p - b)]/4bc) =
= sqr([(p - c)(p - b)]/bc)

N.B.: a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c);      a - b +c = 2p - 2b = 2(p - b).

Area di un triangolo noti i due lati e l'angolo tra essi compreso

L'area di un triangolo è uguale al semiprodotto dei lati per l'angolo tra essi compreso.

DIM

S = AB CH/2 = (cb sin^BAC)/2 = 1/2 cb sin^BAC

Area di un triangolo noti i lati (formula di Erone)

L'area di un triangolo è uguale alla radice quadrata del prodotto tra semiperimetro per semiperimetro meno a, per semiperimetro meno b, per semiperimetro meno c.

DIM

sin^BCA/2 = sqr([(p - b)(p - a)]/ab)

cos^BCA/2 = sqr([p(p - c)]/ab)


S = 1/2 ab sin^BCA/2 = 1/2 ab sin2^BCA/2=
= ab sin^BCA/2 cos^BCA/2 =
= ab sqr((p - a)(p - b)(p - c)/a²b²) =

= sqr((p - a)(p - b)(p - c))

Misura del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo noti 3 lati

DIM

SABC = SAOB + SBOC + SAOC =
= 1/2 cr +1/2 ar + 1/2 br = pr , quindi:

r = S / p

Misura del raggio della circonferenza circoscritta in un triangolo noto un lato e l'angolo opposto

DIM

r = a / 2sin^BAC (c.f.r. Teorema dei seni)

r = b / 2sin^ABC (c.f.r. Teorema dei seni)

r = c / 2sin^BCA (c.f.r. Teorema dei seni)

Misura del raggio della circonferenza circoscritta in un triangolo noti 3 lati

DIM

r = a / 2sin^BAC = abc / 2 bc sin^BAC =
= abc / 2 2SABC = abc / 4SABC

Misura di una mediana noti i 3 lati

DIM

c² = (a/2)² - 2(a/2)Macos^BMA
b² = (a/2)² - 2(a/2)Macos(180° - ^BMA)
b² + c² = a²/2 + 2Ma² ,quindi:

Ma = 1/2 sqr(2b² + 2c² - a²)

Misura di una bisettrice noto angolo diviso e lati adiacenti

DIM

S = 1/2 bc sin^BAC = SABK + SAKC =
= 1/2 cNa sin^BAC/2 + 1/2 bNa sin^BAC/2

1/2 bc sin^BAC = 1/2 Na (b + c) sin^BAC/2

quindi:
bc 2 cos^BAC/2 sin^BAC/2 = Na (b + c) sin^BAC/2

Na = 2 (bc cos^BAC/2)/(b + c)

Area di un quadrilatero qualunque note le diagonali e un angolo che esse formano

DIM

SABCD = SABO + SBOC + SCOD + SDOA

SABCD = 1/2 mp sin^AOB + 1/2 np sin(180° - ^AOB) +
+ 1/2 mq sin(180° - ^AOB) + 1/2 nq sin^AOB =
= 1/2 sin^AOB (mp + mq + np + nq) =

= 1/2 AC BD sin^AOB

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