I fondamenti della matematica e l'ascesa della logica
Antinomie e paradossi della teoria degli insiemi
Assiomatizzazione della teoria degli insiemi
Il logicismo di Frege, Russel e Whitehead
L'intuizionismo di Kroneker e Brower
Teorema di Godel e sue conseguenze
Questa pagina riporta integralmente, premessa a parte, la tesina redatta dai dott. Cacciuttolo Benedetto, Di Biase Domenico e Scotto di Carlo Diego per il corso di Perfezionamento della Didattica della Matematica, tenuto presso il Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R.Caccioppoli” dell’Università agli Studi di Napoli ”Federico II”, nell’a.a. 1998/1999. Le modifiche che sono state apportate non intaccano minimamente il contenuto della loro relazione, ma riguardano solo una rielaborazione grafica della pagina, per renderla,almeno spero, più leggibile. .
N.B. Purtroppo sono riuscito a perdere la bibliografia di questo elaborato, spero che comunque mi scuserete.
L'attività più profonda dei matematici del nostro secolo è, senza dubbio, la ricerca sui fondamenti. I problemi imposti ai matematici, ed altri che essi hanno volontariamente preso in considerazione, riguardano non solo la natura della matematica, ma anche e soprattutto la validità della matematica deduttiva.
Tra la fine dell'800 e i primi anni del '900 attività diverse convergono a portare in primo piano il problema dei fondamenti.
In verità, la matematica entra in un periodo d’intenso travaglio già nella prima metà del secolo scorso, ossia quando la geometria si viene a trovare in un momento di fibrillazione a seguito dell'introduzione delle geometrie non euclidee. Fin da quando Euclide (300 a.C.) presentò i sui "Elementi", infatti, la geometria è sempre stata considerata il prototipo di ciò che doveva essere una disciplina rigorosa sulla quale si dovevano edificare le altre discipline della matematica e delle altre scienze in genere. La geometria, infatti, esibiva dei risultati che trovavano giustificazione nell'osservazione della realtà e quindi si poteva essere certi della loro fondatezza. I lavori esibiti intorno alla metà del secolo da Lobatchevski e Bolyai, invece, fanno cadere queste certezza, giacché essi portano a concludere che per un punto fuori di una retta data non è detto che passi una sola retta ad essa parallela. Si può pensare questo e coerentemente il contrario di questo.
Antinomie e paradossi della teoria degli insiemi
Nei primi anni del nostro secolo poi le fondamenta della matematica sono vigorosamente scosse dalla scoperta di contraddizioni, dette eufemisticamente paradossi o antinomie, soprattutto nella teoria degli insiemi. A dire il vero la parola paradosso è ambigua in quanto si pur riferire ad un'apparente contraddizione, mentre ciò che i matematici incontrano in quel periodo sono delle indiscutibili contraddizioni.
Uno di questi paradossi fu enunciato da Kurt Grelling e Leonard Nelson nel 1908 come segue. Alcune parole descrivono se stesse. Per esempio la parola "polisillabica" é polisillabica. La parola "monosillabica", però, non è monosillabica. Chiamiamo le parole che non descrivono se stesse eterologiche. Secondo tale definizione, allora, la parola X è eterologica se X non è essa stessa X. Ora, se sostituiamo X con eterologica, otteniamo che "eterologica è eterologica se non è eterologica".
Un altro paradosso fu espresso in forma popolare da B. Russell nel 1918 ed è noto come "paradosso del barbiere". Un barbiere di villaggio, vantandosi di non avere concorrenza, si fa pubblicità affermando che egli, ovviamente, non fa la barba a quelli che si radono da soli, ma fa la barba a tutti quelli che non si radono da soli. Un giorno gli capita di chiedersi se dovrebbe radere se stesso, scoprendo così di trovarsi in un bell'impiccio logico. Infatti, se si radesse da solo, allora per la prima parte della sua affermazione non dovrebbe farlo; ma se non si radesse da solo, secondo la sua vanteria dovrebbe farlo.
D'altra parte Cantor già rilevava in una lettera a Dedekind del 1899 che non si poteva più parlare d’insieme di tutti gli insiemi senza cadere in contraddizioni. In effetti, questo è ciò che è chiamato in causa nel paradosso di Russell. La classe di tutti gli uomini non è un uomo. Tuttavia, la classe di tutte le idee e un idea, così come la classe di tutte le biblioteche è una biblioteca. Pertanto, alcune classi non sono membri di se stesse ed alte sì. La causa di tali paradossi, come evidenziavano Russell e Whitehead, è che un oggetto è definito in termini di una classe di oggetti che contiene l'oggetto stesso. Nel 1908 Zermelo fece notare che tali definizioni, dette impredicative, sono usate anche per definire alcuni concetti di analisi come per es. il limite inferiore di un insieme di numeri. Allora l'analisi classica contiene dei paradossi.
La questione dei paradossi turbò profondamente i matematici e ridusse la matematica, come struttura logica, in condizioni pietose, fino a rimpiangere i giorni felici che precedettero la scoperta di così compromettenti contraddizioni.
Assiomatizzazione della teoria degli insiemi
Forse non è sorprendente che il primo espediente cui ricorsero i matematici sia stato l'assiomatizzione della teoria degli insiemi formulata da Cantor piuttosto liberamente, tanto che alcuni chiamano teoria ingenua degli insiemi. Infatti, l'assiomatizzazione della geometria e dei sistemi numerici aveva risolto problemi logici in quelle aree, e sembrava probabile che con l'assiomatizzazione si sarebbero chiarite le difficoltà incontrate in teoria degli insiemi.
Il primo ad affrontare questa questione fu lo stesso Zermelo, il quale era convinto che i paradossi nascessero dal fatto che Cantor non aveva ristretto il concetto di insieme. Nel 1895 Cantor aveva definito un insieme come una collezione di oggetti distinti dalla nostra intuizione o dal nostro pensiero. La cosa era piuttosto vaga, e perciò Zermelo sperava che assiomi chiari ed espliciti avrebbero chiarito ciò che si deve intendere con il termine insieme e quali proprietà esso debba avere. Cantor stesso non era inconsapevole del fatto che il suo concetto di insieme creava problemi, ed, infatti, nella lettera a Dedekind del 1889 distingueva tra insiemi coerenti ed insiemi incoerenti. Zermelo pensava di poter restringere la definizione di insieme agli insiemi coerenti di Cantor, e ciò sarebbe stato sufficiente per la matematica. Il suo sistema assiomatico conteneva concetti fondamentali e relazioni definite solo dagli enunciati degli assiomi stessi. Fra questi c'era il concetto stesso di insieme e la relazione di appartenenza ad un insieme. Non venne usata alcuna proprietà degli insiemi che non fosse garantita dagli assiomi. Anche l'esistenza di un insieme infinito ed operazioni quali l'unione e la formazione di sottoinsiemi venivano fornite dagli assiomi. E' da notare che Zermelo includeva l'assioma della scelta. Il suo programma si proponeva di ammettere nella teoria degli insiemi solo quelle classi che con buona probabilità non avrebbero generate contraddizioni. Perciò la classe nulla, ogni classe finita e la classe dei numeri interi sembravano classi sicure. A partire da esse, attraverso le operazioni citate, si potevano ottenere altre classi che pertanto sarebbero state sicure. Egli, tuttavia, evitava la complementazione, in quanto mentre X potrebbe essere una classe sicura, la classe complementare di X potrebbe non essere sicura in qualche universo di oggetti.
Gli sviluppi di Zermelo furono perfezionati da Fraenkel e variazioni successive furono apportate da John von Neumann. La speranza di evitare paradossi poggiò, nel sistema di Zermelo-Fraenkel, sulla restrizione dei tipi di insiemi ammessi, pur ammettendo abbastanza da poter dare i fondamenti all'analisi. L'idea di Neumann era più audace. Egli operò una distinzione tra classi ed insiemi. Le classi sono raggruppamenti così grandi da non poter essere contenute in altre classi, mentre gli insiemi sono classi più ristrette, e possono essere membri di una classe. Pertanto gli insiemi sono classi sicure. Come lo stesso Neumann evidenziava, non era ammettendo le classi che si giungeva a contraddizioni, ma trascurandole come membri di altre classi.
La teoria formale degli insiemi di Zermelo-Fraenckel, modifica da Neumann ed altri, è adeguata allo sviluppo della teoria degli insiemi necessaria per tutta l'analisi classica ed evita i paradossi, almeno in quanto fino ad oggi non ne sono stati scoperti all'interno della teoria stessa. Tuttavia, la coerenza della teoria degli insiemi formalizzata non è stata ancora dimostrata, ossia ancora non si è riusciti a dimostrare che gli assiomi posti a fondamenta di tale teoria non possano condurre a contraddizioni. A proposito della questione, ancora tutt'oggi aperta, della coerenza, Poincaré osservò: <<abbiamo messo un recinto intorno al gregge per proteggerlo dai lupi, ma non sappiamo se ci fossero già dei lupi all'interno del gregge>>.
Oltre al problema della coerenza, la teoria di Z-F faceva uso dell'assioma della scelta, che è necessario per dimostrare alcune parti dell'analisi standard, della topologia, dell'algebra astratta. Molti matematici, tra cui Hadamard, Lebesgue, Borel, Baire, lo consideravano discutibile e si chiedevano se esso fosse essenziale o dipendente dagli altri assiomi.
In ogni caso l’assiomatizzazione della teoria degli insiemi, anche se lasciava aperte alcune questioni quali la coerenza, avrebbe potuto tranquillizzare i matematici a proposito dei paradossi e portare ad un declino dell’interesse sulla questione dei fondamenti. Ma ormai erano diventate attive ed agguerrite molte scuole di pensiero sui fondamenti. Ai fautori di queste filosofie il metodo assiomatico proposto da Zermelo e modificato dagli altri non parve soddisfacente. Secondo alcuni esso era discutibile perché presupponeva l’uso della logica, proprio quando la logica e le sue relazioni con la matematica erano sotto indagine. Altri, più radicali, discutevano dell’opportunità di fare affidamento su qualunque tipo di logica, soprattutto se applicata ad insiemi infiniti.
Il logicismo di Frege, Russel e Whitehead
La scuola capeggiata da Frege tentava di riedificare la logica, e su di essa costruire la matematica. Questo programma fu ostacolato dalla comparsa dei paradossi, ma non fu abbandonato. In realtà esso venne perseguito indipendentemente da Russell e da Whitehead. Essi ebbero l’idea che la matematica fosse derivabile dalla logica e fosse perciò una sua naturale estensione. Questa scuola di pensiero, nota come scuola logicista, le cui idee fondamentali vennero delineate da Russell nei Principles of Mathematics (1903), inizia sviluppando la logica stessa da cui la matematica segue senza alcuna assioma della matematica propriamente detta. La logica viene sviluppata a partire dall’enunciazione di alcuni assiomi, da cui si deducono teoremi che possono essere usati in ragionamenti successivi. Perciò le leggi della logica ricevono una derivazione formale dagli assiomi. Anche nei Principia vi sono idee indefinite che ogni teoria assiomatica deve avere poiché non è possibile definire tutti i termini senza dover retrocedere all’infinito. Tra queste idee indefinite vi sono la nozione di proposizione elementare, la nozione di funzione proposizionale, l’asserzione della verità di una funzione proposizionale, la negazione di una proposizione e la disgiunzione di due proposizioni.
Successivamente Russell e Whitehead procedono a definire i numeri cardinali attraverso la corrispondenza biunivoca precedentemente introdotta. Dati i numeri naturali è possibile poi costruire i sistemi di numeri reali o complessi, le funzioni e di fatto tutta l’analisi. La geometria può essere introdotta attraverso i numeri. Questo allora è il grandioso programma della scuola logicista: fondare la matematica sulla logica. Non è necessario alcuno degli assiomi della matematica, ma la matematica è una naturale estensione delle leggi della logica. I postulati della logica e tutte le loro conseguenze sono arbitrari e, soprattutto, formali, ossia privi di contenuto. Ne segue che anche la matematica non ha contenuto, ma solamente forma. I significati fisici che associamo ai numeri o ai concetti geometrici non fanno parte della matematica. È pensando a questo che Russell disse: <<La matematica è quella materia in cui non conosciamo mai ciò di cui stiamo parlando, ne se ciò che diciamo è vero>>.
L’approccio logicista ha ricevuto molte critiche, la più pesanti delle quali è la critica filosofica della posizione logicista in toto. È stato obiettato, infatti, che se l’idea logicista fosse corretta allora tutta la matematica sarebbe una scienza puramente logico-deduttiva in cui i teoremi seguono dalle leggi del pensiero. Appare perciò inspiegabile che una simile elaborazione deduttiva possa rappresentare una gran varietà di fenomeni naturali quali l’acustica, l’elettromagnetismo e la meccanica. Inoltre, nella creazione della matematica l’intuizione immaginativa o percettiva devono fornire nuovi concetti, siano essi derivanti o meno dall’esperienza. Altrimenti come potrebbero nascere nuove conoscenze? Ma nei Principia tutti i concetti si riconducono a concetti logici. Dunque la formalizzazione del programma logicista non rappresenta la matematica in alcun senso reale: essa ci presenta il guscio, non il nocciolo.
Nonostante le critiche però, la filosofia logicista viene accettata da molti matematici. Inoltre la costruzione di Russell e Whitehead ha dato un notevole contributo nell’assiomatizzazione della logica in forma interamente simbolica ed ha portato enormemente avanti la disciplina della logica matematica.
L'intuizionismo di Kroneker e Brower
Un gruppo di matematici detti intuizionisti ebbe un approccio alla matematica radicalmente differente. Come nel caso del logicismo la filosofia intuizionista venne inaugurata nel tardo Ottocento quando la riorganizzazione del sistema numerico e della geometria era un’attività di grande rilievo. La scoperta dei paradossi poi stimolò la sua crescita ulteriore.
Il primo intuizionista fu Kronecker, che espresse le sue opinioni negli anni ’70 e ’80 del XIX secolo.
Egli pensava che il rigore di Weierstrass chiamava in causa concetti inaccettabili, e il lavoro di Cantor sui numeri transfiniti e la teoria degli insiemi non era matematica ma misticismo. Kronecker era disposto ad accettare i numeri interi perché sono chiari all’intuizione. Questi <<sono opera di Dio, tutto il resto è opera dell’uomo e perciò sospetto>>.
In un saggio del 1887, egli mostrava come certi tipi di numeri, per esempio le frazioni, possano essere definiti in termini di numeri naturali. Egli desiderava spazzar via la teoria dei numeri irrazionali e delle funzioni continue. Il suo ideale era che ogni teoria di analisi dovesse essere interpretata in termini di numeri naturali. Un’altra obiezione che egli faceva a molte parti della matematica era che esse non davano metodi costruttivi o criteri per determinare in un numero finito di passi gli oggetti di cui trattavano. Le definizioni dovrebbero contenere i mezzi per calcolare gli oggetti definiti in un numero finito di passi, e le dimostrazioni di esistenza dovrebbero permettere il calcolo fino ad ogni grado di precisione richiesto dalle grandezze di cui si sta mostrandone l’esistenza.
Ai suoi giorni Kronecker non trovo sostenitori della sua filosofia e per almeno venticinque anni nessuno sviluppò le sue idee. Tuttavia, dopo la scoperta dei paradossi, l’intuizionismo si rianimò e diventò un movimento largamente diffuso. Il suo più importante fautore fu Poincaré
Come Kronecker, egli insisteva sul fatto che tutte le dimostrazioni dovrebbero essere costruttive. Poincaré era d’accordo con Russell sul fatto che la sorgente dei paradossi era la definizione di collezioni e insiemi che includono gli oggetti definiti. Ulteriori critiche alla posizione logicista vennero sviluppate e discusse in corrispondenze epistolari tra Borel, Baire, Hadamard e Lebesgue.
Tuttavia le obiezioni portate dagli intuizionisti furono sporadiche e frammentarie. Il fondatore sistematico dell’intuizionismo moderno è Brouwer che nel 1907 cominciò a definire la filosofia intuizionista. L’idea di una totalità in sé conclusa dei risultati di un processo generativo è priva di senso.
Il processo e le sue possibilità sono l’unica cosa che c’è; dei suoi risultati si può dire che sono infiniti nel senso che, ad esempio, ogni punto eventualmente raggiunto può essere superato. L’infinità dei risultati è cioè solo potenziale, mai attuale.
Esistenza di un ente non può significare sua eventuale possibilità, ma soltanto sua avvenuta costituzione. Ne segue, in particolare, che dei due tipi di dimostrazione di esistenza correntemente usati in matematica:
definizione di un ente e dimostrazione del fatto che l’ente definito gode
della proprietà richiesta (dimostrazione diretta);
dimostrazione del fatto che se ogni ente non godesse della proprietà in questione si arriverebbe ad una contraddizione (dimostrazione indiretta);
solo la prima è accettabile, almeno nel senso che solo la prima può essere considerata una dimostrazione di esistenza.
Se ne ricava che, in particolare la stessa logica proposizionale è da rivedere.
Non può essere accettata quella legge che sta alla base della equivalenza tra due vie e che è nota come “legge del terzo escluso”.
La prospettiva rigorosamente costruttiva proposta e difesa da Brouwer e dai suoi discepoli, dopo un iniziale periodo di isolamento, dovuto oltre che alla radicale novità di certe sue impostazioni anche ad una certa forse eccessiva ambiguità e oscurità terminologica, è oggi al centro dell’attenzione di vasti settori della logica e della filosofia della matematica
La terza fra le principali filosofie matematiche è nota come scuola formalista che ebbe a capo Hilbert. Egli cominciò a lavorare alla sua filosofia all’inizio del secolo avendo come fine quello di fornire una base al sistema numerico senza far uso della teoria degli insiemi, e di stabilire la coerenza dell’aritmetica. Infatti nella sua dimostrazione della coerenza della geometria essa viene ricondotta a quella dell’aritmetica. Inoltre egli cerca di combattere la tesi di Kronecker secondo cui si dovevano eliminare i numeri irrazionali.
Hilbert presentò un lavoro con le sue opinioni nel 1904 e poi non fece nient’altro su tali argomenti per quindici anni. Successivamente, per rispondere alle critiche intuizioniste all’analisi classica, riprese il problema dei fondamenti e continuò a lavorarci per il resto della sua carriera scientifica. Negli anni ’20 pubblicò parecchi lavori fondamentali, e gradualmente numerosi studiosi fecero proprie le sue idee.
La filosofia formalista compiuta sostiene che la logica deve essere trattata contemporaneamente alla matematica. La matematica è costituita da molte discipline, ciascuna delle quali deve avere una propria fondazione assiomatica.
Questa deve consistere di concetti e principi logici e matematici. La logica è un linguaggio dei segni che traduce gli enunciati in formule ed esprime i ragionamenti per mezzo di processi formali. Gli assiomi si limitano ad esprimere le regole con cui le formule derivano l’una dall’altra. Tutti i segni e i simboli delle operazioni sono liberati dal loro significato rispetto al contenuto. Perciò i simboli matematici sono svuotati di ogni significato.
In un articolo del 1926 Hilbert asserisce che gli oggetti del pensiero matematico sono i simboli stessi. Essi sono l’essenza e non rappresentano oggetti fisici idealizzati. Le formule possono implicare intuitivamente enunciati significativi, ma queste implicazione non fanno parte della matematica. In realtà, Hilbert sosteneva la legge del terzo escluso, tanto che egli affermò: <<Proibire ad un matematico l’uso del principio del terzo escluso è come proibire ad un astronomo l’uso del telescopio, o ad un pugile l’uso dei pugni>>.
Per i formalisti, allora, la matematica propriamente detta è un insieme di sistemi formali: ciascuno costruisce la propria logica insieme alla matematica, ciascuno ha i propri concetti, i propri assiomi, le proprie regole di deduzione dei teoremi, le proprie regole per l’uguaglianza e la sostituzione, e i propri teoremi. La matematica diventa non una materia su qualcosa, ma una collezione di sistemi formali, in ciascuno dei quali espressioni formali si ottengono da altre per mezzo di trasformazioni formali. Questo per quanto riguarda quella parte del programma di Hilbert che tratta della matematica propriamente detta.
Successivamente ci si chiese se le deduzioni siano libere da contraddizioni.
Questo non è necessariamente osservabile intuitivamente.
Hilbert e i suoi allievi, tra i quali lo stesso von Neumann, dimostrarono la coerenza di semplici sistemi formali e credettero di essere sul punto di raggiungere la meta: la dimostrazione della coerenza dell’aritmetica e della teoria degli insiemi.
Teorema di Godel e sue conseguenze
Ma poi entrò in scena Gödel (1906-78) il quale dimostrò che la coerenza della teoria dei numeri non può essere stabilita dalla ristretta logica permessa dalla matematica. Questo risultato è un corollario del suo stupefacente teorema di incompletezza il quale afferma che se una qualsiasi teoria formale T adatta ad abbracciare la teoria dei numeri è coerente e se gli assiomi del sistema formale dell’aritmetica sono assiomi o teoremi T, allora T è incompleto.
L’incompletezza è una macchia in quanto il sistema formale non è adeguato a dimostrare tutte le asserzioni formulabili nel sistema. Per aggiungere al danno la beffa, nel sistema vi sono asserzioni indecidibili, ma intuitivamente vere
All’incompletezza non si può porre rimedio aggiungendo S o ~S, perché Gödel ha dimostrato che ogni sistema che abbraccia la teoria dei numeri deve contenere una proposizione indecidibile. Perciò mentre Brouwer disse chiaramente che ciò che è intuitivamente certo è inferiore è inferiore a ciò che è matematicamente dimostrato, Gödel mostrò che l’intuitivamente certo va oltre la dimostrazione matematica.
Una delle implicazioni del teorema di Gödel è che nessun sistema di assiomi è adeguato ad includere, non solo tutta la matematica, ma neanche una qualsiasi branca significativa di essa, perché ogni sistema siffatto è incompleto.
Il risultato di Gödel inferse un colpo mortale all’assiomatizzazione globale.
L’inadeguatezza del metodo assiomatico non è in se stessa una contraddizione, ma è sorprendente perché i matematici si aspettavano che ogni enunciato vero potesse essere certamente dimostrato entro la struttura di qualche sistema assiomatico. Naturalmente questi ragionamenti non escludono la possibilità di nuovi metodi di dimostrazione che vanno al di là di ciò che permette la matematica di Hilbert.
Hilbert non era convinto che questo colpo distruggesse il suo programma. Egli ribatteva che anche se si dovessero usare concetti esterni ad un sistema formale essi dovrebbero essere ancora finiti ed intuitivamente concreti, e perciò accettabili. Hilbert era un ottimista ed aveva una fiducia illimitata nel potere del ragionamento e della comprensione umana.
Nessuna delle soluzioni proposte ai problemi basilari sui fondamenti, il logicismo, l’intuizionismo o il formalismo, ha raggiunto l’obiettivo di fornire un approccio alla matematica universalmente accettabile. Gli sviluppi successivi al lavoro di Gödel del 1931 essenzialmente non hanno alterato il quadro. Tuttavia vale la pena di ricordare almeno due risultati significativi.
Tra il 1940 ed il 1951, Gödel dimostrò che se il sistema Z-F privo dell'assioma della scelta è coerente, allora il sistema ottenuto aggiungendovi l'assioma della scelta è anch'esso coerente. Nel 1963, poi, Paul J. Cohen, ordinario di matematica alla Standeford University, ha dimostrato che l'assioma della scelta così come le ipotesi del continuo sono indipendenti dal sistema Z-F, cioè non possono essere dimostrate o confutate all'interno di tale sistema. Inoltre anche includendo l'assioma della scelta l'ipotesi del continuo non può essere provata. Questi risultati implicano che si possono costruire sistemi formali negando sia uno che entrambi gli assiomi controversi.
Dunque, anche se la questione della coerenza non è ancora risolta, notevoli passi avanti sono stati fatti rispetto all'epoca in cui i matematici erano preoccupati e sconfortati per la presenza di contraddizioni nei loro lavori, e come fa osservare A.Conte che ha curato l'edizione italiana dell'opera di M. Kline "Storia del pensiero matematico":
<<Oggi la matematica sta vivendo un momento felice della sua lunghissima storia. L'enorme quantità di risultati accumulati negli ultimi cinquant'anni grazie alle genialità dei matematici che sono stati attivi in questo periodo, ma anche al loro numero, che non ha precedenti in altre epoche storiche (si stima che il numero di matematici oggi in attività superi la somma di tutti quelli che sono stati attivi dall'inizio della storia di questa disciplina), consente di affrontare e di risolvere la maggior parte dei problemi posti dalle altre scienze. E anche dal punto di vista della teoria pura, se pure si è affievolita la tendenza alla costruzione di grandi teorie astratte, che è stata tipica degli anni '40-70, la loro applicazione alle questioni lasciate aperte dalle epoche precedenti ha consentito di ottenere risultati di rilievo assoluto. Il terzo millennio si sta per aprire quindi sotto i migliori auspici per questa disciplina antichissima, indissolubilmente intrecciata all'evoluzione della nostra civiltà e che si appresta ad accompagnarla verso un futuro che è sì denso di incognite, ma anche aperto come non mai alla soluzione dei principali problemi posti dalla necessità di costruire un modo di vivere più pacifico e giusto>>.